模型视图矩阵

OpenGL在表示一个\(4\times 4\)的矩阵时并没有使用浮点型的二维数组，而是用了一个包含16个浮点值的一维数组来表示。这个方法和许多数学函数库所使用的方法不同，后者常常采用二维数组来表示矩阵。例如，在下面这两个例子中，OpenGL更倾向于使用前者。

GLfloat matrix[16];     // OpenGL所采用的友好矩阵
GLfloat matrix[4][4];   // 更为流行，但不如OpenGL所采用的方式高效

OpenGL也可以使用第二种类型的表示形式，但第一种类型更为高效。其中的缘由很快就会变得更清楚。这16个元素代表一个\(4\times 4\)的矩阵，如下所示。

\[\begin{bmatrix} a_0 & a_4 & a_8 & a_{12} \\ a_1 & a_5 & a_9 & a_{13} \\ a_2 & a_6 & a_{10} & a_{14} \\ a_3 & a_7 & a_{11} & a_{15} \end{bmatrix}\]

当我们按列逐个遍历数组中的元素时，就称为列主序的矩阵顺序。在内存中，用二维数组表示的\(4\times 4\)矩阵是以行主序存储的。这两种方向之间是转置关系。

真正的奥秘在于这16个值表示空间中 一个特定的位置和三个轴的方向 。

下面是一个变换矩阵的例子：

\[\begin{bmatrix} X_x & Y_x & Z_x & T_x \\ X_y & Y_y & Z_y & T_y \\ X_z & Y_z & Z_z & T_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

• 前三列：方向向量，表示空间中x、y和z轴的方向。在绝大多数情况下，这3个向量相互之间呈90°垂直（正交）。
• 最后一列：经过变换的坐标系统的x、y和z值。

  最奇妙的是：如果一个\(4\times 4\)的矩阵包含了一个不同的坐标系统的位置和方向。那么，把一个顶点（以一个列矩阵或向量的形式）与这个矩阵相乘，其结果就是一个变换到该坐标系统的新顶点。这意味着空间中的任何位置以及自己所需要的任何方向都可以通过一个\(4\times 4\)的矩阵进行唯一的定义，并且，如果把一个物体的所有顶点与这个矩阵相乘，就可以把整个物体变换到空间中指定的位置和方向！

GLfloat m[] = { 1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,  // X Column
                0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f,  // Y Column
                0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f,  // Z Column 
                0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f }; // Translation

M3DMatrix44f m = { 1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,  // X Column
                   0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f,  // Y Column
                   0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f,  // Z Column 
                   0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f }; // Translation

void m3dLoadIdentity44(M3DMatrix44f m);

void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, float x, float y, float z);

m3dRotationMatrix44(M3DMatrix44f m, GLfloat angle, GLfloat x, GLfloat y, GLfloat z;

M3DMatrix44f m;
m3dRotationMatrix(m3dDegToRad(45.0), 1.0f, 1.0f, 1.0f);

M3DMatrix44f m;
void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, float xScale, float yScale, float zScale);

void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const M3DMatrix44f b);

运用模型视图矩阵，可以使用平面着色器，接受 \(4\times 4\) 变换矩阵作为它的参数之一。

GLShaderManager::UseStockShader(GLT_SHADER_FLAT, GLfloat mvp[16], GLfloat vColor[4]); 

这个着色器在对图元进行渲染之前用每个向量乘以矩阵m。

下面的示例程序是对Move程序的修改版，我们使用变量yPos和xPos来记录正方形的位置。现在可以方便的创建一个变换矩阵了。

m3dTranslationMatrix44(mTranslationMatrix, xPos, yPos, 0.0f);

然后，这个变换矩阵就可以在绘制之前被发送到着色器了，如下所示。

shaderManager.UseStockShader(GLT_SHADER_FLAT, mTranslationMatrix, vRed);

为了让事情更加有趣，我们在移动这个正方形的同时还对它进行了旋转。在xy平面中旋转这个正方形也包括围绕z轴旋转。下面程序演示了 Move 示例程序中的整个 RenderScene 函数。

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Called to draw scene
void RenderScene(void)
{
  // Clear the window with current clearing color
  glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT | GL_STENCIL_BUFFER_BIT);

  GLfloat vRed[] = { 1.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f };

  M3DMatrix44f mFinalTransform, mTranslationMatrix, mRotationMatrix;

  // Just Translate
  m3dTranslationMatrix44(mTranslationMatrix, xPos, yPos, 0.0f); // 平移变换矩阵

  // Rotate 5 degrees evertyime we redraw
  static float yRot = 0.0f;
  yRot += 5.0f;
  m3dRotationMatrix44(mRotationMatrix, m3dDegToRad(yRot), 0.0f, 0.0f, 1.0f); // 旋转变换矩阵

  m3dMatrixMultiply44(mFinalTransform, mTranslationMatrix, mRotationMatrix); // 两个变换矩阵相乘，得到一个综合变换矩阵

  shaderManager.UseStockShader(GLT_SHADER_FLAT, mFinalTransform, vRed); 
  squareBatch.Draw();

  // Perform the buffer swap
  glutSwapBuffers();
}

平面着色器只接受一个矩阵变量，然后它会用这些顶点乘以这个矩阵。这个“模型视图”矩阵通过在默认坐标系中平移这些顶点来使我们的正方形在屏幕上移动，我们可以回忆一下，在这个坐标系中所有3个坐标轴范围都在 -1 和 +1 之间。然后，这个简单的坐标系并不是总能满足我们的需要，而且在更大的坐标空间中考虑我们的对象会更加方便。那么就可能会有另外一个矩阵能够允许我们将任何我们想要的坐标空间缩放到 -1 到 +1 的范围内。确实，这就是第二种类型的矩阵变换，称为投影，很快就会介绍相关内容。