位运算和bit-map

位运算

位运算有很多神奇之处。

交换两个元素

1
2
3

a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;

原因是异或运算的逆运算就是自己，也就是一个数对一个数异或运算两次就是其本身。

位运算实现int型快速乘法运算

判断奇偶性（对2取余）

1 2	a&1 == 0 偶数 a&1 == 1 奇数

计算2^n

1 << n

对2^n做乘法或除法

1 2	a << n 等价于 a * (2 ^ n) a >> n 等价于 a / (2 ^ n)

在平时写程序的过程中，适当应用这些运算，可以大大提高程序的运行速度，下面以经典的二分求幂做一个例子：

int Power(int a, int n, int mod) // cal (a^n)%mod
{
  int ans = 1;
  while (n > 0) {
    if (n & 1) {
      ans *= a;
      n--;
    } else {
      a *= a;
      n >>= 1;
    }
    ans %= mod;
  }
  return ans;
}

位运算的其他应用

取int型变量a的第k位 (k=0,1,2……sizeof(int))

a>>k&1

将int型变量a的第k位清0

1	a=a&~(1<<k)

将int型变量a的第k位置1

1	a=a\|(1<<k)

int型变量循环左移k次

1	a=a<<k\|a>>16-k (设sizeof(int)=16)

int型变量a循环右移k次

1	a=a>>k\|a<<16-k (设sizeof(int)=16)

实现最低n位为1，其余位为0的位串信息:

1	~（~0 << n）

截取变量x自p位开始的右边n位的信息:

1	(x >> (1+p-n)) & ~(~0 << n)

截取old变量第row位，并将该位信息装配到变量new的第15-k位

1	new \|= ((old >> row) & 1) << (15 – k)

设s不等于全0，寻找最右边为1的位的序号j:

1	for(j = 0; ((1 << j) & s) == 0; j++) ;

bit-map

所谓的 bit-map 就是用一个bit位来标记某个元素对应的Value，而Key即是该元素。由于采用了Bit为单位来存储数据，因此可以大大节省存储空间。

基本思想

我们先来看一个具体的例子，假设我们要对0-7内的5个元素(4,7,2,5,3)排序（这里假设这些元素没有重复）。那么我们就可以采用Bit-map的方法来达到排序的目的。要表示8个数，我们就只需要8个Bit（1Bytes），首先我们开辟1Byte的空间，将这些空间的所有Bit位都置为0，如下图：

然后遍历这5个元素，首先第一个元素是4，那么就把4对应的位置为1（可以这样操作 p+(i/8)|(0x01<<(i%8)) 当然了这里的操作涉及到Big-ending和Little-ending的情况，这里默认为Big-ending）,因为是从零开始的，所以要把第五位置为一（如下图）：

然后再处理第二个元素7，将第八位置为1,，接着再处理第三个元素，一直到最后处理完所有的元素，将相应的位置为1，这时候的内存的Bit位的状态如下：

然后我们现在遍历一遍Bit区域，将该位是一的位的编号输出（2，3，4，5，7），这样就达到了排序的目的。

算法思想比较简单，但关键是如何确定十进制的数映射到二进制bit位的map图。

Map映射表

假设需要排序或者查找的总数 N=10000000，那么我们需要申请内存空间的大小为 int a[1 + N/32] ，其中：a[0]在内存中占32位为可以对应十进制数0-31，依次类推：

bitmap表为：

a[0]--------->0-31 
a[1]--------->32-63 
a[2]--------->64-95 
a[3]--------->96-127 
..........

那么十进制数如何转换为对应的bit位，下面介绍用位移将十进制数转换为对应的bit位。

位移转换

申请一个int一维数组，那么可以当作为列为32位的二维数组，

            |               32位                  |

int a[0]    |0000000000000000000000000000000000000|

int a[1]    |0000000000000000000000000000000000000|

………………

int a[N]    |0000000000000000000000000000000000000|

浅析上面的对应表，分三步：

求十进制0-N对应在数组a中的下标：十进制0-31，对应在a[0]中，先由十进制数n转换为与32的余可转化为对应在数组a中的下标。比如n=24,那么 n/32=0，则24对应在数组a中的下标为0。又比如n=60,那么n/32=1，则60对应在数组a中的下标为1，同理可以计算0-N在数组a中的下标。
求0-N对应0-31中的数：十进制0-31就对应0-31，而32-63则对应也是0-31，即给定一个数n可以通过模32求得对应0-31中的数。
利用移位0-31使得对应32bit位为1。找到对应0-31的数为M, 左移M位：即2^M. 然后置1.

由此我们计算10000000个bit占用的空间：

1byte = 8bit

1kb = 1024byte

1mb = 1024kb

占用的空间为：10000000/8/1024/1024mb。

大概为1mb多一些。

实现

#define BITSPERWORD 32
#define SHIFT 5
#define MASK 0x1F
#define N 10000000

int a[1 + N/BITSPERWORD]; //申请内存的大小

//set 设置所在的bit位为1
void set(int i) {
    a[i>>SHIFT] |=  (1<<(i & MASK));
}
//clr 初始化所有的bit位为0
void clr(int i) {
    a[i>>SHIFT] &= ~(1<<(i & MASK)); 
}
//test 测试所在的bit为是否为1
int  test(int i){ 
    return a[i>>SHIFT] &   (1<<(i & MASK)); 
}

int main()
{   int i;
    for (i = 0; i < N; i++)
        clr(i);  
    while (scanf("%d", &i) != EOF)
        set(i);
    for (i = 0; i < N; i++)
        if (test(i))
            printf("%d\n", i);
    return 0;
}

应用

可进行数据的快速查找，判重，删除，一般来说数据范围是int的10倍以下。
去重数据而达到压缩数据。