位运算

位运算有很多神奇之处。

交换两个元素

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a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;

原因是异或运算的逆运算就是自己,也就是一个数对一个数异或运算两次就是其本身。

位运算实现int型快速乘法运算

判断奇偶性(对2取余)

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a&1 == 0 偶数
a&1 == 1 奇数

计算2^n

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1 << n

对2^n做乘法或除法

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a << n 等价于 a * (2 ^ n)
a >> n 等价于 a / (2 ^ n)

在平时写程序的过程中,适当应用这些运算,可以大大提高程序的运行速度,下面以经典的二分求幂做一个例子:

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int Power(int a, int n, int mod) // cal (a^n)%mod
{
int ans = 1;
while (n > 0) {
if (n & 1) {
ans *= a;
n--;
} else {
a *= a;
n >>= 1;
}
ans %= mod;
}
return ans;
}

位运算的其他应用

取int型变量a的第k位 (k=0,1,2……sizeof(int))

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a>>k&1

将int型变量a的第k位清0

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a=a&~(1<<k)

将int型变量a的第k位置1

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a=a|(1<<k)

int型变量循环左移k次

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a=a<<k|a>>16-k (设sizeof(int)=16)

int型变量a循环右移k次

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a=a>>k|a<<16-k (设sizeof(int)=16)

实现最低n位为1,其余位为0的位串信息:

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~(~0 << n)

截取变量x自p位开始的右边n位的信息:

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(x >> (1+p-n)) & ~(~0 << n)

截取old变量第row位,并将该位信息装配到变量new的第15-k位

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new |= ((old >> row) & 1) << (15 – k)

设s不等于全0,寻找最右边为1的位的序号j:

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for(j = 0; ((1 << j) & s) == 0; j++) ;

bit-map

所谓的 bit-map 就是用一个bit位来标记某个元素对应的Value, 而Key即是该元素。由于采用了Bit为单位来存储数据,因此可以大大节省存储空间。

基本思想

我们先来看一个具体的例子,假设我们要对0-7内的5个元素(4,7,2,5,3)排序(这里假设这些元素没有重复)。那么我们就可以采用Bit-map的方法来达到排序的目的。要表示8个数,我们就只需要8个Bit(1Bytes),首先我们开辟1Byte的空间,将这些空间的所有Bit位都置为0,如下图:

然后遍历这5个元素,首先第一个元素是4,那么就把4对应的位置为1(可以这样操作 p+(i/8)|(0x01<<(i%8)) 当然了这里的操作涉及到Big-ending和Little-ending的情况,这里默认为Big-ending),因为是从零开始的,所以要把第五位置为一(如下图):

然后再处理第二个元素7,将第八位置为1,,接着再处理第三个元素,一直到最后处理完所有的元素,将相应的位置为1,这时候的内存的Bit位的状态如下:

然后我们现在遍历一遍Bit区域,将该位是一的位的编号输出(2,3,4,5,7),这样就达到了排序的目的。

算法思想比较简单,但关键是如何确定十进制的数映射到二进制bit位的map图

Map映射表

假设需要排序或者查找的总数 N=10000000,那么我们需要申请内存空间的大小为 int a[1 + N/32] ,其中:a[0]在内存中占32位为可以对应十进制数0-31,依次类推:

bitmap表为:

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a[0]--------->0-31
a[1]--------->32-63
a[2]--------->64-95
a[3]--------->96-127
..........

那么十进制数如何转换为对应的bit位,下面介绍用位移将十进制数转换为对应的bit位。

位移转换

申请一个int一维数组,那么可以当作为列为32位的二维数组,

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| 32位 |
int a[0] |0000000000000000000000000000000000000|
int a[1] |0000000000000000000000000000000000000|
………………
int a[N] |0000000000000000000000000000000000000|

浅析上面的对应表,分三步:

  1. 求十进制0-N对应在数组a中的下标:十进制0-31,对应在a[0]中,先由十进制数n转换为与32的余可转化为对应在数组a中的下标。比如n=24,那么 n/32=0,则24对应在数组a中的下标为0。又比如n=60,那么n/32=1,则60对应在数组a中的下标为1,同理可以计算0-N在数组a中的下标。
  2. 求0-N对应0-31中的数:十进制0-31就对应0-31,而32-63则对应也是0-31,即给定一个数n可以通过模32求得对应0-31中的数。
  3. 利用移位0-31使得对应32bit位为1。找到对应0-31的数为M, 左移M位:即2^M. 然后置1.

由此我们计算10000000个bit占用的空间:

1byte = 8bit

1kb = 1024byte

1mb = 1024kb

占用的空间为:10000000/8/1024/1024mb。

大概为1mb多一些。

实现

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#define BITSPERWORD 32
#define SHIFT 5
#define MASK 0x1F
#define N 10000000
int a[1 + N/BITSPERWORD]; //申请内存的大小
//set 设置所在的bit位为1
void set(int i) {
a[i>>SHIFT] |= (1<<(i & MASK));
}
//clr 初始化所有的bit位为0
void clr(int i) {
a[i>>SHIFT] &= ~(1<<(i & MASK));
}
//test 测试所在的bit为是否为1
int test(int i){
return a[i>>SHIFT] & (1<<(i & MASK));
}
int main()
{ int i;
for (i = 0; i < N; i++)
clr(i);
while (scanf("%d", &i) != EOF)
set(i);
for (i = 0; i < N; i++)
if (test(i))
printf("%d\n", i);
return 0;
}

应用

  1. 可进行数据的快速查找,判重,删除,一般来说数据范围是int的10倍以下。
  2. 去重数据而达到压缩数据。

参考材料

扩展

Bloom filter可以看做是对bit-map的扩展。

其他资源

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